Как архимед определил объем короны. Сказка об учёном Архимеде, который стоил целой армии
Архимед
Это удивительный человек, имя которого
люди помнят уже более 2 000 лет.
Он был талантливым математиком,
механиком и инженером.
Каждому школьнику знакомо чи c ло π ,
правило равновесия рычага,
«золотое» правило механики,
закон плавания тел и т.д.
Имя Архимеда живёт в легендах.
Мне было интересно узнать о нём что-то новое.
С одержание:
- Биография
- Математические труды
- Архимедов винт
- Архимедова спираль
- Небесная сфера» Архимеда
- Правило равновесия рычага
- Золотое правило механики
- Устройство блока
- Легенды
- Заключение
Биография
Архимед родился в 287 году до н.э. в Сиракузах на острове Сицилия. Отец Архимеда - астроном и математик Фидий - с остоял в близком родстве с Гиероном, тираном Сиракуз. Отец привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии.
В Александрии Египетской - научном и культурном центре того времени - Архимед познакомился со знаменитыми александрийскими учеными.
С Эратосфеном он переписывался до конца жизни.
Именно здесь Архимед познакомился с трудами Демокрита, Эвдокса и других выдающихся греческих геометров.
Покинув Александрию, Архимед вернулся в Сицилию. В Сиракузах он был окружён вниманием и не нуждался в средствах. Из-за давности лет жизнь Архимеда тесно переплелась с легендами.
Математические труды
Архимед был замечательным механиком-практиком и теоретиком, но основным делом его жизни была математика. По словам Плутарха, Архимед был просто одержим ею. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его работы относились почти ко всем областям математики того времени: ему принадлежат замечательные исследования по геометрии, арифметике, алгебре.
Он нашёл все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учение о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы. Архимед провёл и полное исследование этих уравнений, то есть нашёл, при каких условиях они будут иметь действительные положительные различные корни и при каких корни будут совпадать.
Курносый куб
Усечённый тетраэдр
Кубоктаэдр
До нас дошло 13 трактатов Архимеда
- Трактат "О шаре и цилиндре» установил, что соотношение их объемов равно 2/3. Шар вписанный в цилиндр был выбит на его могиле.
- Сочинение "О равновесии плоских фигур» посвящена исследованию центра тяжести различных фигур.
- В трактате "О коноидах и сфероидах" Архимед рассматривает шар, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения и их сегменты и определяет их объемы.
- В сочинении "О спиралях" исследует свойства кривой, получившей его имя и касательной к ней.
- В трактате "Измерение круга" Архимед предлагает метод определения числа Пи, который использовался до конца 17 в.
- В "Псаммите" ("Исчисление песчинок") Архимед предлагает систему счисления, позволявшую записывать сверхбольшие числа, что поражало воображение современников. «Сосчитал» их вплоть до 10 64 .
- В "Квадратуре параболы" определяет площадь сегмента параболы сначала с помощью "механического" метода, а затем доказывает результаты геометрическим путем.
- Архимеду принадлежат "Книга лемм", "Стомахион" и обнаруженные только в 20 в. "Метод" (или "Эфод") и "Правильный семиугольник". В "Методе" Архимед описывает процесс открытия в математике, проводя четкое различие между своими механическими приемами и математическим доказательством.
Сохранившиеся сочинения Архимеда можно разделить на три группы:
Первая группа - определение площадей криволинейных фигур или соответственно, объёмов тел.
Архимед нашёл общий метод, позволяющий найти любую площадь или объём. Он определил с помощью своего метода площади и объёмы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике.
Лучшим своим достижением он считал определение площади поверхности и объёма шара.
Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления.
Вторую группу составляют работы по геометрическому анализу статистических гидростатических задач:
«О равновесии плоских фигур».
Знаменитый закон гидростатики ,
вошедший в науку как закон Архимеда , сформулирован в трактате «О плавающих телах».
На всякое тело,
погруженное в жидкость,
действует выталкивающая сила, направленная вверх и
равная весу вытесненной им жидкости.
Закон Архимеда справедлив и для газов.
F А = ρ ж · g ∙ V Т = Р ж
К третьей группе можно отнести различные математические работы : Например, как среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр, имеющий наибольший объём?
В работе «Об измерении круга» Архимед дал своё знаменитое приближение числа π: « архимедово число ».
Он сумел оценить точность этого приближения:
Для доказательства он построил для круга вписанный и описанный 96-угольники и вычислил длины их сторон.
Архимедов винт
Архимед прославился многими механическими конструкциями. Изобретённый им бесконечный винт для вычерпывания воды перемещает воду по трубе на высоту до 4м.
Он до сих пор применяется в Египте.
Архимедова спираль -
плоская кривая,
траектория точки М,
движущейся из точки 0
с постоянной скоростью по лучу, вращающемуся около полюса 0
с постоянной угловой скоростью .
Уравнение в полярных координатах:
r = a∙f, где a - постоянная.
«Небесная сфера» Архимеда
Архимед построил планетарий или «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта.
После гибели Архимеда
планетарий был вывезен
Марцеллом в Рим,
где на протяжении
нескольких веков
вызывал восхищение
В трактате «О рычагах» Архимед установил
ПРАВИЛО РАВНОВЕСИЯ РЫЧАГА
Открыл «золотое» правило механики : во сколько раз механизм дает выигрыш в силе, во столько же раз получается проигрыш в расстоянии «Дайте мне точку опоры, и я переверну весь мир»
Архимед первый придумал
устройство блока,
изучил его механические свойства
и применил его на практике
Легенда рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею роскошный корабль «Сирокосия» никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков (полиспаст), с помощью которой он смог проделать эту работу с помощью немногих людей.
Легенда о короне
Существует легенда о том, как царь Гиерон поручил Архимеду проверить, не подмешал ли ювелир серебра в его золотую корону. Целостность изделия нарушать было нельзя. Архимед долго не мог выполнить эту задачу. Решение пришло случайно, когда он лег в ванную и обратил внимание на вытеснение жидкости. Архимед закричал: «Эврика!» - «Нашел!», и выбежал голым на улицу. Он понял, что объем тела, погруженного в воду, равен объему вытесненной воды. Таким образом, Архимед узнал, что в золото было подмешано серебро, разоблачил обманщика и открыл основной закон гидростатики!
Осада Сиракуз
Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 до н. э. А ведь в это время ему было уже 75 лет! Построенные Архимедом мощные метательные машины забрасывали римские войска тяжёлыми камнями. Думая, что они будут в безопасности у самых стен города, римляне кинулись туда, но в это время лёгкие метательные машины близкого действия забросали их градом ядер. Мощные краны захватывали железными крюками корабли, приподнимали их кверху, а затем бросали вниз, так что корабли переворачивались и тонули.
По легенде, во время осады римский флот был сожжён защитниками города, которые при помощи зеркал и отполированных до блеска щитов сфокусировали на них солнечные лучи по приказу Архимеда.
Легенды о смерти
По первой , в разгар боя он сидел на пороге своего дома, углубленно размышляя над чертежами, сделанными им прямо на дорожном песке.
В это время пробегавший мимо римский воин наступил на чертёж, и возмущенный ученый бросился на римлянина с криком: «Не тронь моих чертежей!».
Эта фраза стоила Архимеду жизни. Солдат остановился и хладнокровно зарубил старика мечом.
Вторая версия гласит, что полководец римлян Марцелл специально послал воина на поиски Архимеда.
Воин разыскал ученого и сказал:
- Иди со мной, тебя зовет Марцелл.
- Какой еще Марцелл?! Я должен решить задачу!
Разгневанный римлянин выхватил меч и убил Архимеда.
Об Архимеде в стихах
И до нас за очень много лет В трудный год родные Сиракузы Защищал ученый Архимед.
Замыслом неведомым охвачен Он не знал, что в городе враги, И в раздумье на земле горячей Выводил какие-то круги.
Он чертил задумчивый, не гордый, Позабыв текущие дела, - И внезапно непонятной хордой Тень копья чертеж пересекла.
Но убийц спокойствием пугая, Он, не унижаясь, не дрожа, Руку протянул, оберегая Не себя, а знаки чертежа.
Один из крупных лунных кратеров (82 километра в ширину) был назван именем Архимеда
Использованные материалы:
- http://class-fizika.spb.ru
- http://ru.wikipedia.org
- http://www.home-edu.ru
- http://www.hrono.ru
- http://www.krugosvet.ru
- http://tmn.fio.ru
- http://edu.nstu.ru
- http://www.mirf.ru/archive.php
- Программа «Физикон»
Были посвящены механике, то естественно будет начать наш разговор с рассмотрения того, каким образом возникли и как сложились основные представления греческой механики. Само слово "механика" произошло от греческого merhane- механэ, что первоначально обозначало подъемную машину, употреблявшуюся в греческих театрах для подъема и опускания на сцену греческих богов, которые должны были разрешить запутанный ход представлявшейся драмы; отсюда произошла часто употребляющаяся поговорка: deus ex machina- бог из машины. Позднее слово mechane стало употребляться для обозначения военных машин, а затем и для машин вообще.
Как говорит историк Диодор Сицилийский , Архимед изобретает кохлею, или Архимедов винт, служащий для поднятия воды. Винт Архимеда (Рис. 1) - изобретение, с помощью которого в далеком прошлом качали или даже полностью осушали реки.
Рис. 1 Винт Архимеда
Катапульта Архимеда, или баллиста (Рис. 2, Рис. 3) - изобретение Архимеда, которое появилось предположительно около 399г до н.э. Катапульту использовали в качестве оружия в разных войнах; античная двухплечевая машина торсионного действия для метания камней. Позднее в первых веках нашей эры под баллистами стали подразумевать стреломёты.
Архимед так же доказал, что можно вытаскивать тяжелые грузы с меньшими силами, чем обычно; изобретатель приказал вытащить на берег тяжелое судно и наполнить его грузом. Встав около полиспаста (катушечного бока), Архимед стал тянуть привязанный к кораблю канат без всяких существенных усилий.
Рис.4. Лапа Архимеда
Лапа Архимеда (Рис. 4) - прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Полибий во «Всемирной истории» писал, что если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» под управлением специально обученного машиниста захватывал его нос и переворачивал (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.
Рис. 5. Планетарий
Цицерон писал, что после того, как Сиракузы были разграблены, Марцелл вывез оттуда два прибора — «сферы», создание которых приписывается Архимеду. Первый был неким подобием планетария, а второй моделировал движение светил по небу, что предполагало наличие в нем сложного шестереночного механизма.
Римляне были шокированы, увидев машины Архимеда в действии. Плутарх пишет, что иногда дело доходило до абсурда: увидев на стене Сиракуз какую-нибудь веревку или бревно, непобедимые римские легионеры в панике спасались бегством, думая, что сейчас против них будет применен очередной адский механизм.
До недавнего времени это свидетельство считалось сомнительным, однако в 1900 году около греческого острова Антикитера на глубине 43 метра были найдены останки корабля, с которого подняли остатки некоего устройства — «продвинутой» системы бронзовых шестеренок, датируемой 87 годом до нашей эры. Это доказывает, что Архимед вполне мог создать сложный механизм — своеобразный «компьютер» античных времен.
Архимеду принадлежит первенство во многих открытиях из области точных наук. До нас дошло тринадцать трактатов Архимеда. В самом знаменитом из них - "О шаре и цилиндре" (в двух книгах) Архимед устанавливает, что площадь поверхности шара в 4 раза больше площади наибольшего его сечения; формулирует соотношение объемов шара и описанного около него цилиндра как 2:3 - открытие, которым он так дорожил, что в завещании просил поставить на своей могиле памятник с изображением цилиндра с вписанным в него шаром и надписью расчета.
В физике Архимед ввел понятие центра тяжести, установил научные принципы статики и гидростатики, дал образцы применения математических методов в физических исследованиях. Основные положения статики сформулированы в сочинении "О равновесии плоских фигур". Архимед рассматривает сложение параллельных сил, определяет понятие центра тяжести для различных фигур, дает вывод закона рычага.
Используя принцип интегрирования, Архимед открыл число пи. Впоследствии значение его постоянно уточнялось. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеман доказал, что число пи бесконечно. В XX веке с помощью компьютеров удалось рассчитать примерно миллиард знаков после запятой. Компьютер позволил обнаружить исчерпывающее решение знаменитой «задачи о быках». Наименьший ответ на нее был найден в 1880 году и выражался числом, состоящим из 206 545 цифр. Сто лет спустя, в 1981 году, с помощью компьютера ученые вычислили более миллиарда знаков запятой. Современные Сиракузы почти не сохранили следов былого величия. Туристов часто водят на так называемую «Могилу Архимеда» в некрополе Гроттичелли. На самом деле это римское захоронение не содержит останков знаменитого ученого.
«Палимпсест Архимеда» — христианская книга, составленная в 12 веке из «языческих» пергаментов 10 века. Для этого с них смыли прежние письмена, и на полученном материале написали церковный текст. К счастью, палимпсест (от греческого palin — снова и psatio — стираю) был сделан некачественно, поэтому на просвет (а еще лучше — под ультрафиолетом) оказались видны старые буквы. В 1906 году выяснилось, что это три неизвестных ранее труда Архимеда.
Существует легенда о том, как царь Гиерон поручил Архимеду проверить, не подмешал ли ювелир серебра в его золотую корону. Целостность изделия нарушать было нельзя. Архимед долго не мог выполнить эту задачу — решение пришло случайно, когда он лег в ванную и вдруг обратил внимание на эффект вытеснения жидкости (закричал: «Эврика!» — «Нашел!», и выбежал голым на улицу). Он понял, что объем тела, погруженного в воду, равен объему вытесненной воды, и это помогло ему разоблачить обманщика.
Существует легенда о том, как Архимед пришел к открытию, что выталкивающая сила равна весу жидкости в объеме тела. Он размышлял над задачей, заданной ему сиракузским царем Гиероном (250 лет до н. э.).
Царь Гиерон поручил ему проверить честность мастера, изготовившего золотую корону. Хотя корона весила столько, сколько было отпущено на нее золота, царь заподозрил, что она изготовлена из сплава золота с другими, более дешевыми металлами. Архимеду было поручено узнать, не ломая короны, есть ли в ней примесь или нет.
Достоверно неизвестно, каким методом пользовался Архимед, но можно предположить следующее, Сначала он нашел, что кусок чистого золота в 19,3 раза тяжелее такого же объема воды. Иначе говоря, плотность золота в 19,3 раза больше плотности воды.
Архимеду надо было найти плотность вещества короны. Если эта плотность оказалась бы больше плотности воды не в 19,3 раза, а в меньшее число раз, значит, корона была изготовлена не из чистого золота.
Взвесить корону было легко, но как найти ее объем? Вот что затрудняло Архимеда, ведь корона была очень сложной формы. Много дней мучила Архимеда эта задача. И вот однажды, когда он, находясь в бане, погрузился в наполненную водой ванну, его внезапно осенила мысль, давшая решение задачи. Ликующий и возбужденный своим открытием, Архимед воскликнул; «Эврика! Эврика!», что значит; «Нашел! Нашел!».
Архимед взвесил корону сначала в воздухе, затем в воде. По разнице в весе он рассчитал выталкивающую силу, равную весу воды в объеме короны. Определив затем объем короны, он смог уже вычислить ее плотность. А зная плотность, ответить на вопрос царя: нет ли примесей дешевых металлов в золотой короне?
Легенда говорит, что плотность вещества короны оказалась меньше плотности чистого золота. Тем самым мастер был изобличен в обмане, а наука обогатилась замечательным открытием. Историки рассказывают, что задача о золотой короне побудила Архимеда заняться вопросом о плавании тел. Результатом этого было появление замечательного сочинения «О плавающих телах», которое дошло до нас.
Седьмое предложение (теорема) этого сочинения сформулировано Архимедом следующим образом:
Тела, которые тяжелее жидкости, будучи опущены в нее, погружаются все глубже, пока не достигают дна, и, пребывая в жидкости, теряют в своем весе столько , сколько весит жидкость, взятая в объеме тел.
Упр. Предположив, что золотая корона царя Гиерона в воздухе весит 20Н, а в воде 18,75Н, вычислите плотность вещества короны. Полагая, что к золоту было подмешено только серебро, определите, сколько в короне было золота и сколько серебра. При решении задачи плотность золота считайте равной округленно 20 000 кг/м3, плотность серебра - 10 000 кг/м3.
Греция не зря считается колыбелью западной культуры, ведь именно на этой благословенной земле, умытой теплыми волнами Средиземного моря, жили и творили гениальные ученые. Перечень имен людей, которые заложили основы современной науки, мог бы занять не одну страницу. Мы остановимся на одном из них - математике, физике, инженере. Сведений о его действительно большом уме сохранилось немало, а легенда об Архимеде известна каждому школьнику. Мы расскажем вам, что это за человек и чем обязаны ему все поколения людей.
Немного о гении
Легенда об Архимеде, несомненно, интересна. Но сначала мы хотим рассказать немного о самом ученом. Биография знаменитого грека дошла до нас в изложениях таких античных авторов, как Тит Ливий, Витрувий, Цицерон, Полибий, Плутарх. Каждый из них жил намного позже Архимеда, поэтому нельзя утверждать, что события, описанные ими, являются достоверными.
Будущий гений родился в Сиракузах, что в Сицилии. Возможно, Архимед приходился родственником правителю города Гиерону II. Страсть к науке ему привил отец, Фидий, известный астроном и математик. А обучался он в Александрии, крупнейшем культурном и научном центре того времени.
Еще задолго до того, как появилась легенда об Архимеде, гений познакомился с выдающими людьми, Кононом и Эратосфеном, с которыми переписывался затем всю жизнь. Он часами засиживался в знаменитой библиотеке, в которой было собрано свыше семисот тысяч рукописей. Именно в ней у Архимеда была возможность ознакомиться с трудами Демокрита и Евдокса, о которых нередко он упоминал позже в своих трудах.
Биографы утверждают, что, окончив обучение, Архимед вернулся в родной город, где пользовался почетом и совсем не нуждался в средствах.
Ученый и корона
Существует не одна легенда об Архимеде, их очень много, потому что ученый то и дело что-нибудь изобретал, исследовал, творил. Самая популярная из них знакома нам из школы. Это легенда об Архимеде про корону. Расскажем коротко ее суть.
Однажды жестокий царь Гиерон захотел проверить, не обманул ли его ювелир, изготавливая для него золотую корону. Он приказал ученому определить, действительно ли его украшение выполнено из чистейшего драгметалла. Трудность состояла в определении объема короны, так как она имела неправильную форму. Размышляя над поставленной задачей, Архимед нашел способ справиться с ней: погрузить изделие в воду и измерить объём жидкости, вытесненной им. Тогда же, как рассказывает легенда об Архимеде, гений воскликнул «Эврика!», что в переводе означает «нашел». А в науку гидростатику это открытие вошло как
Как перевернуть Землю?
Но нам известна и другая легенда об Архимеде (фото ниже). Биографы рассказывают, что правитель Сиракуз велел построить тяжёлый многопалубный корабль, который предназначался в качестве подарка Птолемею, египетскому царю. Но спустить на воду его никак не удавалось, и вот тут на помощь пришел Архимед. Он построил вокруг корабля целую систему блоков и, используя силу рычага, легко справился с задачей. Именно тогда родился афоризм изобретателя: «Дайте мне точку опоры, и я переверну мир».
Спасенные Сиракузы
Удивительные изобретения ученого спасли его родной город от разрушения. Это еще одна легенда об Архимеде (по физике вы ее наверняка изучали). Итак, как утверждают биографы инженерного гения, в 212 году до н. э. осадили Сиракузы. На момент второй нашему герою было примерно 75 лет. Но его ум был по-прежнему быстрым и пытливым.
Итак, Архимед разработал чертежи мощных метательных машин, которые забрасывали войска полководца Марцелла камнями. Спасаясь от такого обстрела, бросилась к стенам Сиракуз. Но там их также ждал неприятный сюрприз - лёгкие метательные машины. К тому же горожане (наверное, не без помощи ученого) соорудили краны, которые захватывали корабли, поднимали их наверх, а потом бросали вниз и топили. Захватчики отступили.
Другая версия гласит, что флот Вечного города во время осады был сожжен огнем, который возник при применении зеркал или зажигательных смесей. Однако, если предыдущие легенды были проверены современными учеными и подтверждены, то огонь из Сиракуз пока считается красивой сказкой.
Окончание жизни
В результате измены Сиракузы все же были захвачены римлянами в том же году. Архимеда, который спас город раньше, убили. Существуют четыре версии смерти ученого, однако они все сводятся к тому, что старика зарубили солдаты. Военачальник Марцелл сильно огорчился, узнав о гибели известного человека, и устроил ему достойные похороны. Убийцы же были казнены. Сегодня в Сиракузах можно увидеть каменную гробницу Архимеда, построенную спустя два века после его смерти. Но ученый продолжает жить в сердцах людей как самый прошлого, как спаситель родного города и преданный служитель науки.
